Всего: 6 1–6
Добавить в вариант
Найдите все пары 
действительных чисел a и b таких, что уравнения 
и 
имеют хотя бы один общий корень.
Пусть x0 — общий корень уравнений. Подставляя x0 в уравнение и вычитая одно из другого, получим
1) Пусть 
тогда x0 = a + b и
Откуда следует, что a = b = 0, противоречие.
2) Пусть a = b, тогда оба уравнения имеют вид 
с дискриминантом 
Следовательно, единственная возможность это a = b = 0.
Ответ: {(0, 0)}.
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Полное решение. | + | 12 |
| Найдена основная идея решения. Показано, что других решений нет. Решение неполное или содержит недочеты. Ответ верный. | ± | 9 |
| Найдена основная идея решения. Ответ верный. Не показано, что других решений нет. | +/2 | 6 |
| Приведен верный ответ. Решение отсутствует или не содержит продвижения в верном направлении. | ∓ | 2 |
| Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше. | −/0 | 0 |
| Максимальный балл | 12 | |
Найти минимальное и максимальное значения выражения 
где x, y принимают произвольные значения из интервала [0, 1].
Решение 1. Положим 
тогда 
Полученное выражение равно 0 при 
или 
или 
Следовательно, в области 
функция 
положительна ниже (или правее) прямой 
и тут достигается её максимум, и отрицательна — выше (или левее) этой прямой и тут достигается её минимум.
Решение 2. Считаем переменную у параметром, лежащим в интервале 
При каждом фиксированном 
квадратный трёхчлен 
принимает минимальное значение, равное 
при 
следовательно, минимальное значение всего выражения достигается при 
и равен 
Максимум же квадратного трёхчлена при каждом фиксированном на интервале 
достигается на его конце при 
(значение на другом конце 
равно 0), и равен 
Следовательно, максимум 
не превосходит максимума трёхчлена 
который достигается при 
из интервале и 
и равен 
Ответ: минимальное значение — 
максимальное значение — 
Доказана одна из оценок 
и 
—
максимальное значение — Найти максимальную длину горизонтального отрезка с концами на графике функции 
Горизонтальный отрезок длины 
с концами на графике функции 
существует тогда и только тогда, когда уравнение 
имеет при данном значении параметра а хотя бы одно решение. Раскрывая скобки, приводя подобные и сокращая на 
получим квадратное уравнение 
которое разрешимо при 
откуда 
Следовательно, длина искомого отрезка не превосходит 2. При 
решением уравнения является 
откуда следует, что длина 2 достигается для отрезка с концами (−1, 0) и (1, 0) на графике функции 
Ответ: 2.
Приведем еще одно решение.
Как в решении выше, получаем уравнение которое рассмотрим, как квадратное относительно a с параметром x: 
Находим его корни
ввиду положительности a рассматриваем только тот, что с плюсом:
Данная функция от x определена при 
и положительна при 
Её производная, равная.
обращается в ноль при слева больше ноля, а справа — меньше. Следовательно, её значение максимально при 
и равно 
Действительно, в данном случае отрезок длины 2 соединяет на оси OX два корня 
и 
уравнения 
Приведён ответ 2 и пример отрезка такой длины: 1 балл. Отсутствие явного примера в решении: минус 2 балла.
Найдите все значения параметра a, при которых корни x1 и x2 уравнения
Обозначим многочлен из условия задачи через f(x). Тогда в силу положительности коэффициента при 
условие задачи эквивалентно простому неравенству 
То есть,
А отсюда получаем, что 
Ответ:
Найдите все значения a? при каждом из который уравнение
имеет ровно три различных корня.
Замена 
Уравнение
квадратное относительно
Поскольку
то
То есть задача равносильна нахождению условий, при которых система
имеет ровно три решения.
Возможны случаи:
1) 
следовательно, решений нет;
2) 
следовательно, решений нет;
3) 
следовательно, 
4) 
следовательно, 
И не забыть проверить в случаях 3) 4) тот момент, когда уравнения могут иметь общий корень. Уравнения имеют общий корень при 
и при 
Ответ: 
Для всех значений параметра а решите неравенство 
Допустимые значения переменной x задаются системой:
Перепишем исходное неравенство в виде
и предположим, что 
Тогда неравенство (2) равносильно неравенству 
и, таким образом, с учетом первого неравенства системы (1) приходим к системе
которая в силу второго неравенства системы (1) равносильна одному неравенству 
решениями которого являются все x такие, что 
—
Пусть 
Тогда неравенство (2) равносильно неравенству 
C учетом первого неравенства системы (1) имеем систему
Начертим на плоскости xOa графики функций 
и прямую 
Парам (x, a), удовлетворяющим последней системе, соответствуют точки заштрихованной области.
Обозначая через x3, x4 корни уравнения которые вычисляются по формулам 
на основании полученных ранее результатов и непосредственно из рисунка приходим к выводу, что решениями исходного неравенства будут абсциссы x тех точек, которые принадлежат пересечению прямой 
и заштрихованной области. На основании этого выписываем ответ.
Ответ:
— если 
и 
то решений нет;
— если 
то 
— если 
то 
и 
— если 
то 
— где 
— если и то решений нет;
— если то
— если то и
— если то
— где
Наверх